ทฤษฎีความโกลาหล: อะไรคือความแตกต่างระหว่างพฤติกรรมที่วุ่นวายและพฤติกรรมแบบสุ่ม?


ตอบ 1:

เรื่องสั้นคือ พฤติกรรมแบบสุ่มนั้นไม่สามารถกำหนดได้แม้ว่าคุณจะรู้ทุกอย่างที่สามารถรู้เกี่ยวกับระบบในเวลาที่กำหนดในรายละเอียดที่สมบูรณ์แบบ แต่คุณก็ยังไม่สามารถคาดการณ์สถานะในอนาคตได้ พฤติกรรมความโกลาหลในทางตรงกันข้ามนั้นถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์หากคุณทราบสถานะเริ่มต้นในรายละเอียดที่สมบูรณ์แบบ แต่ความไม่แน่นอนใด ๆ ในสถานะเริ่มต้นไม่ว่าจะเล็กเพียงใดก็ตาม

ระบบสุ่ม

การโยนเหรียญหรือลอตเตอรี่เป็นตัวอย่างของระบบสุ่ม [*] คุณสามารถโยนเหรียญเป็นล้านครั้งรู้ผลทุกครั้ง แต่มันจะไม่ช่วยคุณทำนายผลของการโยนครั้งต่อไป คุณสามารถทราบประวัติทั้งหมดของตัวเลขที่ชนะลอตเตอรี แต่มันจะไม่ช่วยให้คุณชนะลอตเตอรี (หากสิ่งนี้ฟังดูน่าแปลกใจให้ดูที่การเข้าใจผิดของนักพนัน)

[*] ฉันกำลังพูดถึงที่นี่ถึงระบบในอุดมคติที่มีการสุ่มแสดง

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

เพื่อทำให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้นลองจินตนาการว่ากำลังมองหาคนเมา เขาออกจากบาร์ตอนเที่ยงคืนและคุณกำลังตามหาเขาอีกหนึ่งชั่วโมงต่อมา เมื่อเขาเมาเขาเดินอย่างไร้จุดหมายและคุณจะไม่สามารถรู้ได้อย่างชัดเจนว่าเขาอยู่ที่ไหน อย่างไรก็ตามเมื่อรู้ว่าเขาเดินด้วยความเร็วหนึ่งก้าวต่อวินาทีและสมมติว่าแต่ละขั้นตอนมีทิศทางใหม่แบบสุ่มสมบูรณ์คุณรู้ว่าหลังจากผ่านไปหนึ่งชั่วโมงเขาจะไม่ไกลเกินกว่า 60 ก้าว (อาจเป็นร้อย ๆ ฟุต) ห่างจากจุดที่เขาจากไป

ระบบวุ่นวาย

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(จาก Wikipedia)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

moly ศักดิ์สิทธิ์! คะแนนอยู่ทั่วทุกสถานที่! สิ่งนี้หมายความว่าแม้ว่าเราเริ่มต้นด้วยสองเงื่อนไขเริ่มต้นที่คล้ายกันมากทั้งสองลำดับไม่เหมือนกัน นั่นคือความโกลาหล

แยกแยะความสับสนวุ่นวายจากการสุ่ม

จริง ๆ แล้วมันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแยกความแตกต่างจากตัวเลขที่ไม่ใช่แบบสุ่ม ตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันบอกคุณต่อไปนี้เป็นผลมาจากการโยนเหรียญ (1 คือหัว, 0 คือหาง): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (นั่นคือสิบสี่คน) สิ่งนี้ดูสุ่มสำหรับคุณหรือไม่? ฉันแน่ใจว่ามันไม่ ถึงกระนั้นฉันก็พบว่าลำดับปรากฏขึ้นสองครั้งในการโยนหนึ่งหมื่นเหรียญที่สร้างขึ้นโดยใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มที่แท้จริง (random.org) ทอยเหรียญหมื่นเหมือนกันนั้นยังมีลำดับ [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] สองครั้งและ [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( ศูนย์สิบแปด) หนึ่งครั้ง แน่นอนเหตุการณ์เหล่านี้หายาก (กำหนดลำดับความยาว 14 คุณคาดหวังว่ามันจะปรากฏในหนึ่งในประมาณ 16000 เสมอ) แต่ในขณะเดียวกันก็ไม่แปลกใจที่เราเห็นพวกเขาที่นี่เนื่องจากเราใช้ตัวอย่าง 10,000 หาพวกเขา. อย่างไรก็ตามประเด็นก็คือว่าถ้ามีคนให้ตัวอย่างจากลำดับสุ่มไม่มีอะไรเกี่ยวกับตัวอย่างที่สามารถบอกคุณได้ว่าต้นกำเนิดของกลุ่มตัวอย่างนั้นเป็นกระบวนการสุ่มหรือไม่

ทีนี้เปรียบเทียบลำดับที่ฉันแสดงข้างบนกับสิ่งนี้: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] อันนี้ดูสุ่มกว่าใช่มั้ย มันถูกสร้างขึ้นด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกในคอมพิวเตอร์ของฉันซึ่งหมายความว่ามันคำนวณได้จริงจากการเปลี่ยนแปลงของระบบที่วุ่นวาย! สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความยากลำบากในการแยกความแตกต่างแบบ "จริง" จากสิ่งที่คุณได้รับเมื่อคุณไม่ทราบสถานะที่แน่นอนของระบบ

ความไม่แน่นอน

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนแบบแผนกับความคาดเดาไม่ได้ พฤติกรรมสุ่มไม่สามารถคาดการณ์ได้ในความหมายที่เข้มงวด (ไม่สามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบ) แต่สามารถคาดเดาได้ว่ามีความแม่นยำระดับสูง (เช่นในกรณีของการเดินแบบสุ่มที่ฉันเขียนไว้ก่อนหน้านี้) ในทางกลับกันการคาดเดาไม่ได้อาจเกิดจากการสุ่ม (เช่นการไม่สามารถคาดการณ์ได้ว่าจะเกิดการสลายกัมมันตภาพรังสี) แต่ในกรณีส่วนใหญ่เป็นเพียงการที่เราไม่สามารถวัดสถานะเริ่มต้นของระบบได้อย่างถูกต้องเพียงพอ (เช่นในกรณีของการพยากรณ์อากาศหรือพยายามทำนายว่าน้ำหยดหนึ่งจะตกลงมาจากคลื่นที่สาดเข้าหาฝั่ง [นี่คือตัวอย่างเนื่องจากไฟน์แมนที่ฉันไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงได้ในตอนนี้])


ตอบ 2:

มีคำอธิบายที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับทฤษฎีความโกลาหลและการสุ่มในการตอบคำถามนี้ แต่บางทีมันอาจจะคุ้มค่าที่จะสังเกตว่ากรอบแนวคิดของทฤษฎีความโกลาหลนั้นมีค่าอย่างมากในหลาย ๆ ด้าน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านเศรษฐศาสตร์และธุรกิจสิ่งเหล่านี้เป็นสาขาที่นักยุทธศาสตร์จำเป็นต้องควบคุมสถานการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งมีปัจจัยปฏิสัมพันธ์จำนวนมากเกินไปที่จะคาดการณ์ผลลัพธ์ได้

ธรรมชาติเป็นตัวอย่างที่ดีเยี่ยมของนักยุทธศาสตร์โดยใช้กรอบแนวคิดของทฤษฎีความโกลาหลเพื่อสร้างระบบชีวภาพที่มีประสิทธิภาพสูงสุด กุญแจสำคัญในการใช้ทฤษฎีความโกลาหลที่เป็นประโยชน์คือการเข้าใจว่ามันเกี่ยวข้องกับระบบพลวัตซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีปฏิสัมพันธ์มากมาย ระบบดังกล่าวอยู่ภายใต้กฎหมายทางกายภาพพื้นฐานที่ทำให้พวกเขาพยายามที่จะปักหลักอยู่ในสถานะมั่นคง (พลังงานน้อยที่สุด) แม้ว่าสถานะคงที่นี้ไม่สามารถคาดการณ์ได้ แต่ก็สามารถรักษาได้ในรูปแบบที่หลากหลายในการโต้ตอบของส่วนประกอบ

ทฤษฎีความโกลาหลบอกเราว่าถ้าการโต้ตอบขององค์ประกอบถึงจุดวิกฤตระบบจะกลายเป็นวุ่นวาย ธรรมชาติใช้ปรากฏการณ์นี้เพื่อทำให้เกิดความก้าวหน้าเชิงวิวัฒนาการ ความแปรปรวนทางพันธุกรรมส่วนใหญ่สามารถยอมรับได้ในระบบชีวภาพ แต่การเปลี่ยนแปลงทางพันธุกรรมทุกครั้งและเพียงพอสามารถทำให้ระบบทางชีวภาพทำงานแตกต่างกัน สิ่งนี้อาจดีขึ้นหรือแย่ลง การแข่งขันระหว่างระบบชีวภาพทำให้มั่นใจได้ว่าระบบที่เปลี่ยนแปลงเพื่อสิ่งที่ดีกว่านั้นจะได้รับการเก็บรักษาไว้และการเปลี่ยนแปลงที่ด้อยกว่าจะหายไป

แม้ว่าพวกเขาอาจไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับทฤษฎีความโกลาหลนักเศรษฐศาสตร์และนักธุรกิจที่ฉลาดรู้ถึงปรากฏการณ์นี้และเมื่อระบบไม่ทำงานว่าพวกเขาต้องการให้มันทำงานอย่างไรพวกเขาทำการเปลี่ยนแปลงเพื่อพลิกมันให้อยู่ในสถานะใหม่ พวกเขาจะต้องกล้าหาญพอที่จะรับมือกับความโกลาหลในระยะสั้นที่เกี่ยวข้องและพร้อมที่จะยุติการเปลี่ยนแปลงหากสถานการณ์ตกอยู่ในสภาวะที่แย่ลง แต่นี่เป็นวิธีเดียวที่คุณสามารถจัดการและควบคุมระบบที่ซับซ้อนได้ นักการเมืองของเราช่างน่าสงสารไม่ได้เรียนหนังสือในทฤษฎีความโกลาหล


ตอบ 3:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 4:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 5:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 6:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 7:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 8:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 9:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 10:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 11:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 12:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ


ตอบ 13:

บางทีในแง่พื้นฐานบางอย่างก็ไม่มีความแตกต่าง

หมายความว่าไม่มีสิ่งใดที่เป็นแบบแผนที่แท้จริงในธรรมชาติ

อาจจะมีเพียงองศาของการสุ่มที่กำหนดโดย

ระดับของเอนโทรปีในปรากฏการณ์ ปัญหาคือสมบูรณ์แบบ

แบบแผนไม่มีเนื้อหาข้อมูลใด ๆ และที่

ในตัวเองเป็นข้อมูล ความขัดแย้งแปลก ๆ